Question

13．已知方程x²+ax+b=0的一根在（0，1）上，另一根在（1，2）上，则$\frac{2-b}{3-a}$的取值范围是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． $（-∞，\frac{1}{2}）$
• C． $（\frac{1}{2}，2）$
• D． $（0，\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 由题意和一元二次方程根的分布问题，列出关于a，b的不等式组，由二元一次不等式（组）与平面区域关系画出可行域，根据直线的斜率公式得到$\frac{2-b}{3-a}$的几何意义，由斜率公式和图求出答案．

解答 解：令f（x）=x²+ax+b，
∵方程x²+ax+b=0的一根在（0，1）上，另一根在（1，2）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{1+a+b＜0}\\{4+2a+b＞0}\end{array}\right.$，
由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{1+a+b＜0}\\{4+2a+b＞0}\end{array}\right.$画出可行域，
如右图中的△ABC内的区域，
B（-2，0），C（-1，0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{1+a+b=0}\\{4+2a+b=0}\end{array}\right.$，解得A（-3，2），
∵$\frac{2-b}{3-a}$的几何意义为：可行域内的动点与定点P（3，2）连线的斜率，
且k_AP=0，${k}_{CP}=\frac{2-0}{3-（-1）}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2-b}{3-a}$的取值范围为（0，$\frac{1}{2}$），
故选D．

点评 本题考查了一元二次方程根的分布，元一次不等式（组）与平面区域，即简单的线性规划问题，以及直线的斜率公式，考查了数形结合思想、转化思想，是中档题．