Question

4．已知x，y满足$\left\{\begin{array}{l}y≥2x\\ x+y≤3\\ x≥a\end{array}$且z=2x+y的最大值是其最小值的2倍，则a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，求出最优解，建立方程关系，即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线的截距最小，
此时z最小，
当直线y=-2x+z经过点B时，直线的截距最大，
此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=2x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=2a}\end{array}\right.$，即C（a，2a），此时z_min=2a+2a=4a，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+y=3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（1，2），此时z_max=2+2=4，
∵z=2x+y的最大值是其最小值的2倍，
∴2×4a=4，即a=$\frac{1}{2}$
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．