Question

9．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-3．
（I）求△ABC的面积；
（II）若sinA：sinC=3：2，求AC边上的中线BD的长．

Answer 1

分析 （I）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数，利用平面向量数量积的运算可求ac的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
（II）由正弦定理化简可得a=$\frac{3c}{2}$，结合ac=6，可求a，c的值，由于$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$），平方后利用平面向量的运算即可解得AC边上的中线BD的长．

解答 （本题满分为12分）
解：（I）已知等式（2a-c）cosB=bcosC，
利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
则B=60°．
又∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-3．
∴accos（π-B）=-3，
∴解得ac=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×$6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$…6分
（II）∵由sinA：sinC=3：2，可得：a：c=3：2，解得：a=$\frac{3c}{2}$，
又∵由（I）可得：ac=6，
∴解得：a=3，c=2，
又∵$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$），
∴4$\overrightarrow{BD}$²=$\overrightarrow{BA}$²+$\overrightarrow{BC}$²+2$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=c²+a²-2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=2²+3²-2×（-3）=19，
∴|$\overrightarrow{BD}$|=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，即AC边上的中线BD的长为$\frac{\sqrt{19}}{2}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式变形，平面向量数量积的运算，三角形面积公式，平面向量的运算在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．