【题目】如下图,已知椭圆的上顶点为
,左、右顶点为
,右焦点为
,
,且
的周长为14.
(I)求椭圆的离心率;
(II)过点的直线
与椭圆相交于不同两点
,点N在线段
上.设
,试判断点
是否在一条定直线上,并求实数λ的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据条件计算得的值,进而可求离心率;
(Ⅱ)设l的方程为,与椭圆联立得
,
,根据条件
,化简得
,带入条件可得
,由
即可求得
的范围.
试题解析:
(I)由,得
,
的周长为
,即
,得
,
所以,椭圆的离心率为
;
(II)显然直线l的斜率存在,设l的方程为,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),
由,得
,化简得
①,-----6分
由消去x,得
,
得,
,
代入①式得,由
得
,
,
因为,得
,所以
,
因此,N在一条直线上,实数
.
【法二:显然直线l的斜率存在,设l的方程为,不妨设
,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0), ,
由,得
,化简得
①,6分
由,
,得
②,
由消去x,得
,
可知
,
得,
,
,
代入①式得,由
得
,
由②式得
,得
,
因此,N在一条直线上,实数
.
法三:设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0), ,由
,
得
所以,将
,
代入椭圆方程得
上面两式相减化简得
,
因为,得
,所以
,
因此,N在一条直线上,实数
.
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【题目】(2015·广东卷)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )
A. l与l1,l2都不相交
B. l与l1,l2都相交
C. l至多与l1,l2中的一条相交
D. l至少与l1,l2中的一条相交
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【题目】已知椭圆和直线
:
,椭圆的离心率
,坐标原点到直线
的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知定点,若直线
过点
且与椭圆相交于
两点,试判断是否存在直线
,使以
为直径的圆过点
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知三条直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0.
(1)若直线l1,l2,l3交于一点,求实数m的值;
(2)若直线l1,l2,l3不能围成三角形,求实数m的值.
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线l过点P (3, )且倾斜角为
.在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为
.
(Ⅰ)求直线l的一个参数方程和圆C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A,B,求的值.
(2)已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小值
;
(Ⅱ)若正实数满足
,且
对任意的正实数
恒成立,求
的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥中,侧面
底面
,
为正三角形,
,
,点
,
分别为线段
、
的中点,
、
分别为线段
、
上一点,且
,
.
(1)确定点的位置,使得
平面
;
(2)试问:直线上是否存在一点
,使得平面
与平面
所成锐二面角的大小为
,若存在,求
的长;若不存在,请说明理由.
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