【题目】在直角坐标系xOy中,直线l过点P (3, )且倾斜角为
.在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为
.
(Ⅰ)求直线l的一个参数方程和圆C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A,B,求的值.
(2)已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小值
;
(Ⅱ)若正实数满足
,且
对任意的正实数
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)(Ⅰ)直线l参数方程为 (t为参数),圆C的直角坐标方程为x2+(y-
)2=5 (Ⅱ)|PA||PB|=|t1t2|=4(2)(Ⅰ)1(Ⅱ)
【解析】试题分析:
(1)(Ⅰ)利用转化关系可得直线l参数方程为 (t为参数) ,圆的直角坐标方程为x2+(y-
)2=5.
(Ⅱ)联立直线与圆的方程,利用t的几何意义可得|PA||PB|=|t1t2|=4.
(2)(Ⅰ)将函数零点分段可得函数的最小值为1;
(Ⅱ)由题意结合均值不等式的结论可得的取值范围是
.
试题解析:
(Ⅰ)直线l参数方程为 (t为参数)
由ρ=2sin θ,得x2+y2-2
y=0,
即x2+(y-)2=5.
(Ⅱ)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,
由于Δ=(-3)2-4×4=2>0,故可设t1,t2是上述方程的两实根,
所以
又直线l过点P(3,),
故由上式及t的几何意义|PA||PB|=|t1t2|=4
(2)解:(Ⅰ)由已知得,
可知函数的最小值
等于1.
(Ⅱ)由(1)知,所以
即
解得:
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【题目】已知函数是定义在
上的偶函数,且当
时,
.现已画出函数
在
轴左侧的图象,如图所示,并根据图象:
(1)直接写出函数,
的增区间;
(2)写出函数,
的解析式;
(3)若函数,
,求函数
的最小值.
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【题目】如下图,已知椭圆的上顶点为
,左、右顶点为
,右焦点为
,
,且
的周长为14.
(I)求椭圆的离心率;
(II)过点的直线
与椭圆相交于不同两点
,点N在线段
上.设
,试判断点
是否在一条定直线上,并求实数λ的取值范围.
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【题目】学校艺术节对同一类的,
,
,
四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“是或
作品获得一等奖”;
乙说:“作品获得一等奖”;
丙说:“,
两项作品未获得一等奖”;
丁说:“是作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是__________.
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【题目】若函数满足下列条件:在定义域内存在
,使得
成立,则称函数
具有性质
;反之,若
不存在,则称函数
不具有性质
.
(Ⅰ)证明:函数具有性质
,并求出对应的
的值;
(Ⅱ)试分别探究形如①(
)、②
(
且
)、③
(
且
)的函数,是否一定具有性质
?并加以证明.
(Ⅲ)已知函数具有性质
,求
的取值范围;
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【题目】(本小题满分12分)某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查,统计数据如表1所示
表1
参加社团活动 | 不参加社团活动 | 合计 | |
学习积极性高 | 17 | 8 | 25 |
学习积极性一般 | 5 | 20 | 25 |
合计 | 22 | 28 | 50 |
(1)如果随机从该班抽查一名学生,抽到参加社团活动的学生的概率是多少?抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少?
(2)运用独立检验的思想方法分析:学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系?并说明理由.
0.05 | 0.01 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】编号为A,B,C,D,E的5个小球放在如图所示的5个盒子里,要求每个盒子只能放1个小球,且A球不能放在1,2号盒子里,B球必须放在与A球相邻的盒子中,求不同的放法有多少种?
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【题目】某土特产销售总公司为了解其经营状况,调查了其下属各分公司月销售额和利润,得到数据如下表:
分公司名称 | 雅雨 | 雅鱼 | 雅女 | 雅竹 | 雅茶 |
月销售额 | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
月利润额 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
在统计中发现月销售额和月利润额
具有线性相关关系.
(1)根据如下的参考公式与参考数据,求月利润额与月销售额
之间的线性回归方程;
(2)若该总公司还有一个分公司“雅果”月销售额为10万元,试估计它的月利润额是多少?
(参考公式: ,
,其中:
,
)
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