【题目】若函数满足下列条件:在定义域内存在
,使得
成立,则称函数
具有性质
;反之,若
不存在,则称函数
不具有性质
.
(Ⅰ)证明:函数具有性质
,并求出对应的
的值;
(Ⅱ)试分别探究形如①(
)、②
(
且
)、③
(
且
)的函数,是否一定具有性质
?并加以证明.
(Ⅲ)已知函数具有性质
,求
的取值范围;
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)把函数代入
,解出
从而求解;
(Ⅱ)函数恒具有性质
,即关于的方程
恒有解.
分别探究形如①(
)、②
(
且
)、③
(
且
)的函数,把其代入进行一一验证是否具有性质M;
(Ⅲ)根据具有性质
,即存在x0,使得存在
,使得
,代入得到一个关于
的方程,其中含有参数
,并对
进行讨论,从而求出
的取值范围;
试题解析:(Ⅰ)证明: 代入
得:
即,解得
∴函数
具有性质
.
(Ⅱ)函数恒具有性质
,即关于的方程
(*)恒有解.
①若(
),则方程(*)可化为
,解得
.
∴函数(
)一定具备性质
.
②若,则方程(*)可化为
,化简得
即
当时,方程(*)无解
∴函数(
且
)不一定具有性质
.
③若,则方程(*)可化为
,化简得
显然方程无解
∴函数(
且
)不一定具有性质
.
(Ⅲ)解: 的定义域为
,且可得
,∵
具有性质
,
∴存在,使得
,代入得
化为
整理得: 有实根
①若,得
,满足题意;
②若,则要使
有实根,只需满足
,即
,解得
∴
综合①②,可得
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=x2-3x+lnx.
(Ⅰ)求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若对于任意的x1,x2∈(1,+∞),x1≠x2,都有恒成立,求实数k的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知三条直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0.
(1)若直线l1,l2,l3交于一点,求实数m的值;
(2)若直线l1,l2,l3不能围成三角形,求实数m的值.
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【题目】近年来空气质量逐步恶化,雾霾天气现象增多,大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关,在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查,得到如下的列联表:
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 | |
男 | 20 | 5 | 25 |
女 | 10 | 15 | 25 |
合计 | 30 | 20 | 50 |
(1)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由;
(2)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患有胃病,现在从患心肺疾病的10位女性中,选出3位进行其他方面的排查,其中患胃病的人数为,求
的分布列、数学期望.
参考公式: ,其中
.
下面的临界值仅供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线l过点P (3, )且倾斜角为
.在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为
.
(Ⅰ)求直线l的一个参数方程和圆C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A,B,求的值.
(2)已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小值
;
(Ⅱ)若正实数满足
,且
对任意的正实数
恒成立,求
的取值范围.
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【题目】某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的1200个数据(数据均在区间内)中,按照5%的比例进行分层抽样,统计结果按
,
,
,
,
分组,整理如下图:
(Ⅰ)写出频率分布直方图(图乙)中的值;记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为
,
,试比较
与
的大小(只需写出结论);
(Ⅱ)从甲种酸奶日销售量在区间的数据样本中抽取3个,记在
内的数据个数为
,求
的分布列;
(Ⅲ)估计1200个日销售量数据中,数据在区间中的个数.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:
奖级 | 摸出红、蓝球个数 | 获奖金额 |
一等奖 | 3红1蓝 | 200元 |
二等奖 | 3红0蓝 | 50元 |
三等奖 | 2红1蓝 | 10元 |
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列.
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