【题目】已知函数 ()在定义域内仅有唯一零点.
(1)若对,不等式恒成立,求实数的最大值;
(2)设函数,对于, ,且,求证: .
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)直接求导即可得到函数的增减性,只有一个零点,说明其极值为零,即可得到答案;
(2)通过对不等式的变形化简,得到的形式,此时自然运用换元法得到一个新的不等式,再利用导数来对其进行证明即可。
试题解析:
(1)由(),得.
令,解得.
显然,即在的定义域内,
于是当时, ;当时, ,
所以在区间上递增,在区间上递减,则.
因为在定义域内仅有唯一零点,所以,即,
从而.
于是不等式恒成立,即恒成立.
①当时,取,得,而,所以不恒成立,即不满足条件;
②当时,令,则,
令,得, .
(i)若,即时,当时, ,则在上递增,
从而恒有,即在上恒成立,即满足条件.
(ii)若,即时,当, ,则递减,
于是当时, ,即在不恒成立,即不满足条件.
综上得,即.
(2)由,得,不妨令,
欲证 ,
只需证,
即证,
只需证,
只需证,
即证,
即证.
令(),则只需证,即.
令,则,
于是在上递增,从而,
即,即,所以原不等式成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知在平面直角坐标系中, 是坐标原点,动圆经过点,且与直线相切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)过的直线交曲线于两点,过作曲线的切线,直线交于点,求的面积的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=|x-a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如下图,已知椭圆的上顶点为,左、右顶点为,右焦点为, ,且的周长为14.
(I)求椭圆的离心率;
(II)过点的直线与椭圆相交于不同两点,点N在线段上.设,试判断点是否在一条定直线上,并求实数λ的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某品牌手机销售商今年1,2,3月份的销售量分别是1万部,1.2万部,1.3万部,为估计以后每个月的销售量,以这三个月的销售为依据,用一个函数模拟该品牌手机的销售量y(单位:万部)与月份x之间的关系,现从二次函数 或函数 中选用一个效果好的函数行模拟,如果4月份的销售量为1.37万件,则5月份的销售量为__________万件.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】学校艺术节对同一类的,,,四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“是或作品获得一等奖”;
乙说:“作品获得一等奖”;
丙说:“,两项作品未获得一等奖”;
丁说:“是作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是__________.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若函数满足下列条件:在定义域内存在,使得成立,则称函数具有性质;反之,若不存在,则称函数不具有性质.
(Ⅰ)证明:函数具有性质,并求出对应的的值;
(Ⅱ)试分别探究形如①()、②(且)、③(且)的函数,是否一定具有性质?并加以证明.
(Ⅲ)已知函数具有性质,求的取值范围;
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】编号为A,B,C,D,E的5个小球放在如图所示的5个盒子里,要求每个盒子只能放1个小球,且A球不能放在1,2号盒子里,B球必须放在与A球相邻的盒子中,求不同的放法有多少种?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直线与椭圆相交于两点,与轴, 轴分别相交于点和点,且,点是点关于轴的对称点, 的延长线交椭圆于点,过点分别做轴的垂线,垂足分别为.
(1) 若椭圆的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点在椭圆上,求椭圆的方程;
(2)当时,若点平分线段,求椭圆的离心率.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com