Question

【题目】已知函数， .

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，函数的两个极值点为， ，且.求证： .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）对求导数，求出可得切线斜率，因为切点为有，根据点斜式可得切线方程；（2）在上有两个不等的实根，即有两个不等的实根， ，可得，且， ，令，利用导数研究函数的单调性，求其最小值，进而可得结论.

由的关系，用把表示出来，求出的表达式与取值范围即可得到结论.

（Ⅰ）因为，所以， ，于是有：

， ，切点为.

故切线方程为.

（Ⅱ）因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根，

即有两个不等的实根， ，可得，且，

因为，则，可得.

， ，

令， ， ，

，又， 时， ，

而，故在上恒成立，

所以在上恒成立，

即在上单调递减，

所以，得证.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及不等式证明问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.