【题目】如图,在中,
为直角,
.沿
的中位线
,将平面
折起,使得
,得到四棱锥
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求三棱锥的体积;
(Ⅲ)是棱
的中点,过
做平面
与平面
平行,设平面
截四棱锥
所得截面面积为
,试求
的值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)
.
【解析】【试题分析】(1)依据题设条件,借助线面垂直的判定定理分析推证;(2)先确定三棱锥的高,再运用三棱锥的体积公式求解;(3)先确定截面的位置,再分析探求截面的面积:
(Ⅰ)证明:因为,且
,
所以,同时
,
又,所以
面
.
又因为,所以
平面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: 平面
,又
平面
,
所以,
又因为,所以
.
又因为,所以
平面
.
所以, .
依题意, .
所以, .
(Ⅲ)分别取的中点
,并连接
,
因为平面平面
,所以平面
与平面
的交线平行于
,因为
是中点,所以平面
与平面
的交线是
的中位线
.同理可证,四边形
是平面
截四棱锥
的截面.
即: .
由(Ⅰ)可知: 平面
,所以
,
又∵,
∴
.
∴四边形是直角梯形.
在中,
∴
.
,
,
.
∴.
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【题目】学校艺术节对同一类的,
,
,
四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“是或
作品获得一等奖”;
乙说:“作品获得一等奖”;
丙说:“,
两项作品未获得一等奖”;
丁说:“是作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是__________.
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【题目】(本小题满分12分)某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查,统计数据如表1所示
表1
参加社团活动 | 不参加社团活动 | 合计 | |
学习积极性高 | 17 | 8 | 25 |
学习积极性一般 | 5 | 20 | 25 |
合计 | 22 | 28 | 50 |
(1)如果随机从该班抽查一名学生,抽到参加社团活动的学生的概率是多少?抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少?
(2)运用独立检验的思想方法分析:学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系?并说明理由.
0.05 | 0.01 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】编号为A,B,C,D,E的5个小球放在如图所示的5个盒子里,要求每个盒子只能放1个小球,且A球不能放在1,2号盒子里,B球必须放在与A球相邻的盒子中,求不同的放法有多少种?
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【题目】某品牌汽车的店,对最近100份分期付款购车情况进行统计,统计情况如下表所示.已知分9期付款的频率为0.4;该店经销一辆该品牌汽车,若顾客分3期付款,其利润为1万元;分6期或9期付款,其利润为2万元;分12期付款,其利润为3万元.
付款方式 | 分3期 | 分6期 | 分9期 | 分12期 |
频数 | 20 | 20 |
(1)若以上表计算出的频率近似替代概率,从该店采用分期付款购车的顾客(数量较大)中随机抽取3为顾客,求事件:“至多有1位采用分6期付款“的概率
;
(2)按分层抽样方式从这100为顾客中抽取5人,再从抽取的5人中随机抽取3人,记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量,求
的分布列和数学期望
.
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【题目】如图,我海监船在岛海域例行维权巡航,某时刻航行至
处,此时测得其东北方向与它相距
海里的
处有一外国船只,且
岛位于海监船正东
海里处.
(1)求此时该外国船只与岛的距离;
(2)观测中发现,此外国船只正以每小时海里的速度沿正南方向航行,为了将该船拦截在离
岛
海里处,不让其进入
岛
海里内的海域,试确定海监船的航向,并求其速度的最小值.(参考数据:
,
)
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【题目】已知椭圆:
(
)的离心率为
,以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,斜率为的直线
与椭圆
交于
,
两点,点
在直线
的左上方.若
,且直线
,
分别与
轴交于
,
点,求线段
的长度.
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