【题目】已知椭圆
： 
（
）的离心率为
，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）如图，斜率为
的直线
与椭圆
交于
， 
两点，点
在直线
的左上方.若
，且直线
， 
分别与
轴交于
， 
点，求线段
的长度.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析: (1)由已知条件求出
的值,得出椭圆方程; (2)设直线
的方程, 联立直线与椭圆方程,求出两根之和,两根之积,求出
,得到
为等腰直角三角形,求出线段
的长.
试题解析:（1）由题意知
，解之，得
.
所以椭圆
的方程为
；
（2）设直线
， 
，
将
代入
中，化简整理，得
，
，得
，
于是有
， 
， 
，
注意到
，
上式中，分子
，
从而， 
，由
，可知
，
所以
是等腰直角三角形， 
，即为所求.
点睛:本题主要考查了求椭圆方程以及直线与椭圆相交时求另一线段的长,计算量比较大,属于中档题.解题思路:在(1)中,直接由已知条件得出;在(2)中,通过求出
,而
,得出
,得到
为等腰直角三角形,再求出线段
的长.
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【题目】如图，在
中， 
为直角， 
．沿
的中位线
，将平面
折起，使得
，得到四棱锥
．
（Ⅰ）求证： 
平面
；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积；
（Ⅲ）
是棱
的中点，过
做平面
与平面
平行，设平面
截四棱锥
所得截面面积为
，试求
的值．
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【题目】某企业生产 
， 
两种产品，根据市场调查与预测， 
产品的利润与投资关系如图（1）所示； 
产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资单位：万元）．
（1）分别将 
， 
两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）已知该企业已筹集到 
万元资金，并将全部投入 
， 
两种产品的生产．问怎样分配这 
万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?
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【题目】已知点
，圆
是以
的中点为圆心， 
为半径的圆.
（Ⅰ）若圆
的切线在
轴和
轴上截距相等，求切线方程；
（Ⅱ）若
是圆
外一点，从
向圆
引切线
， 
为切点， 
为坐标原点，且有
，求使
最小的点
的坐标.
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【题目】已知椭圆
： 
的上下两个焦点分别为
， 
，过点
与
轴垂直的直线交椭圆
于
、
两点， 
的面积为
，椭圆
的离心力为
．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）已知
为坐标原点，直线
： 
与
轴交于点
，与椭圆
交于
， 
两个不同的点，若存在实数
，使得
，求
的取值范围．
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【题目】2016年时红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神．首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动，其次在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星，每人获得一个纪念品，其数据表格如下：
公园 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
获得签名人数 | 45 | 60 | 30 | 15 |
（Ⅰ）求此活动中各公园幸运之星的人数；
（Ⅱ）从乙和丙公园的幸运之星中任选两人接受电视台记者的采访，求这两人均来自乙公园的概率；
（Ⅲ）电视台记者对乙公园的签名人进行了是否有兴趣研究“红军长征”历史的问卷调查，统计结果如下（单位：人）：
有兴趣 | 无兴趣 | 合计 | |
男 | 25 | 5 | 30 |
女 | 15 | 15 | 30 |
合计 | 40 | 20 | 60 |
据此判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关．
临界值表：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
参考公式： 
．
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