【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,过
分别作曲线
与
的切线
,且
与
关于
轴对称,求证:
.
【答案】(1)见解析;(2) 见解析.
【解析】试题分析:(1) 求出,分五种情讨论,分别令
得增区间,
得减区间;(2)根据导数的几何意义可求出两切线的斜率分别为
,根据切点处两函数纵坐标相等可得关于
的两个等式,由其中一个等式求得
的范围,再根据另一个等式利用导数求得
的范围.
试题解析:由已知得,所以
.
(1) . ① 若
,当
或
时,
;当
时,
,所以
的单调递增区间为
;
单调递减区间为. ②若
,当
时,
;当
时,
,所以
的单调递增区间为
;单调递减区间为
. ③ 若
,当
或
时,
;当
时,
,所以
的单调递增区间为
;单调递减区间为
.④若
,故
的单调递减区间为
.⑤若
,当
或
时,
;当
时,
,所以
的单调递增区间为
;单调递减区间为
.
当时,
的单调递增区间为
;单调递减区间为
.
当时,
的单调递增区间为
;单调递减区间为
.当
时,
的单调递增区间为
;单调递减区间为
.
当时,
的单调递减区间为
;当
时,
单调递增区间为
;
单调递减区间为,
;
(2) ,设
的方程为
,切点为
,则
,所以
.由题意知
,所以
的方程为
,设
与
的切点为
,则
.
又,即
,令
,在定义域上,
,所以
上,
是单调递增函数,又
,所以
,即
,令
,则
,所以
,故
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,我海监船在岛海域例行维权巡航,某时刻航行至
处,此时测得其东北方向与它相距
海里的
处有一外国船只,且
岛位于海监船正东
海里处.
(1)求此时该外国船只与岛的距离;
(2)观测中发现,此外国船只正以每小时海里的速度沿正南方向航行,为了将该船拦截在离
岛
海里处,不让其进入
岛
海里内的海域,试确定海监船的航向,并求其速度的最小值.(参考数据:
,
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
(
)的离心率为
,以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,斜率为的直线
与椭圆
交于
,
两点,点
在直线
的左上方.若
,且直线
,
分别与
轴交于
,
点,求线段
的长度.
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【题目】某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据:
年份 | 2006 | 2008 | 2010 | 2012 | 2014 |
需求量(万吨) | 236 | 246 | 257 | 276 | 286 |
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归方程=
x+
;
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2018年的粮食需求量.
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【题目】为了选拔参加自行车比赛的选手,对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位:m/s)的数据如下:
甲 | 27 | 38 | 30 | 37 | 35 | 31 |
乙 | 33 | 29 | 38 | 34 | 28 | 36 |
(1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息;
(2)估计甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差,并判断谁参加比赛更合适.
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【题目】已知是椭圆
的左、右焦点,
为坐标原点,点
在椭圆上,线段
与
轴的交点
满足
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)圆是以
为直径的圆,一直线
与圆
相切,并与椭圆交于不同的两点
、
,当
,且满足
时,求
的面积
的取值范围.
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【题目】已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼,为了估计这两种鱼的数量,养殖者从池塘中捕出这两种鱼各1 000条,给每条鱼做上不影响其存活的标记,然后放回池塘,待完全混合后,再每次从池塘中随机地捕出1 000条鱼,记录下其中有记号的鱼的数目,立即放回池塘中.这样的记录做了10次,并将记录获取的数据制作成如图所示的茎叶图.
(1)根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数,并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量;
(2)为了估计池塘中鱼的总质量,现按照(1)中的比例对100条鱼进行称重,根据称重鱼的质量介于[0,4.5](单位:千克)之间,将测量结果按如下方式分成九组:第一组[0,0.5),第二组[0.5,1),…,第九组[4,4.5].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.
①估计池塘中鱼的质量在3千克以上(含3千克)的条数;
②若第三组鱼的条数比第二组多7条、第四组鱼的条数比第三组多7条,请将频率分布直方图补充完整;
③在②的条件下估计池塘中鱼的质量的众数及池塘中鱼的总质量.
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【题目】如图(1)是一个水平放置的正三棱柱,
是棱
的中点,正三棱柱的主视图如图(2).
(1)图(1)中垂直于平面的平面有哪几个(直接写出符合要求的平面即可,不必说明或证明)
(2)求正三棱柱的体积;
(3)证明: 平面
.
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