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    【题目】已知函数， ， .

    （1）设函数，若在区间上单调，求实数的取值范围；

    （2）求证： .

    【答案】（1）的取值范围为 （2）证明见解析

    【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为在上恒成立，求出m的范围即可；（2）设g(x)=f2(x)-f3(x)-2f1′(x)=ex-lnx-2，求出函数的导数，得到函数的单调性，求出g（x）的最小值，从而证出结论．

    试题解析:（1）由题意得，所以，因为，

    所以

    若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，所以

    若函数在区间上单调递减，则在上恒成立，

    即在上恒成立，所以

    综上，实数的取值范围为.

    （2）设

    则，设，则，所以在上单调递增，

    由， 得，存在唯一的使得，

    所以在上有，在上有

    所以在上单调递减，在递增.

    所以，故， .

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    【题目】已知椭圆： （）的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）如图，斜率为的直线与椭圆交于， 两点，点在直线的左上方.若，且直线， 分别与轴交于， 点，求线段的长度.

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    【题目】已知是椭圆的左、右焦点， 为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足．

    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

    （Ⅱ）圆是以为直径的圆，一直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点、，当，且满足时，求的面积的取值范围．

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    【题目】已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼,为了估计这两种鱼的数量,养殖者从池塘中捕出这两种鱼各1 000条,给每条鱼做上不影响其存活的标记,然后放回池塘,待完全混合后,再每次从池塘中随机地捕出1 000条鱼,记录下其中有记号的鱼的数目,立即放回池塘中.这样的记录做了10次,并将记录获取的数据制作成如图所示的茎叶图.

    (1)根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数,并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量;

    (2)为了估计池塘中鱼的总质量,现按照(1)中的比例对100条鱼进行称重,根据称重鱼的质量介于[0,4.5](单位:千克)之间,将测量结果按如下方式分成九组:第一组[0,0.5),第二组[0.5,1),…,第九组[4,4.5].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.

    ①估计池塘中鱼的质量在3千克以上(含3千克)的条数;

    ②若第三组鱼的条数比第二组多7条、第四组鱼的条数比第三组多7条,请将频率分布直方图补充完整;

    ③在②的条件下估计池塘中鱼的质量的众数及池塘中鱼的总质量.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数.

    （1）用定义证明函数在上是增函数；

    （2）探究是否存在实数，使得函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

    （3）在（2）的条件下，解不等式.

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    【题目】是等边三角形，边长为4， 边的中点为，椭圆以， 为左、右两焦点，且经过、两点。

    （1）求该椭圆的标准方程；

    （2）过点且轴不垂直的直线交椭圆于， 两点，求证：直线与的交点在一条定直线上.

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    【题目】在某次电影展映活动中，展映的影片有科幻片和文艺片两种类型，统计一随机抽样调查的样本数据显示，100名男性观众中选择科幻片的有60名，女性观众中有的选择文艺片，选择文艺片的观众中男性观众和女性观众一样多.

    （Ⅰ）根据以上数据完成下列列联表

    （Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为选择影片类型与性别有关？

    附：

    …

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.001

    …

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    10.828

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    【题目】如图(1)是一个水平放置的正三棱柱， 是棱的中点，正三棱柱的主视图如图(2).

    (1)图(1)中垂直于平面的平面有哪几个(直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明)

    (2)求正三棱柱的体积；

    (3)证明： 平面.

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    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

    （1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

    （2）设点，若直线与曲线交于， 两点，且，求实数的值.

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