Question

18．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=4，满足a_n+2=$\frac{5}{3}$a_n+1-$\frac{2}{3}$a_n
（I）设b_n=a_n+1-a_n，求证数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a_n+2=$\frac{5}{3}$a_n+1-$\frac{2}{3}$a_n，变形为：a_n+2-a_n+1=$\frac{2}{3}（{a}_{n+1}-{a}_{n}）$，利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，b_n}=3（$\frac{2}{3}$）^n-1，可得a_n+1-a_n=3×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，利用a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵a_n+2=$\frac{5}{3}$a_n+1-$\frac{2}{3}$a_n，
变形为：a_n+2-a_n+1=$\frac{2}{3}（{a}_{n+1}-{a}_{n}）$，
即b_n+1=$\frac{2}{3}$b_n
又b₁=a₂-a₁=3
∴数列{b_n}是首项为3，公比为$\frac{2}{3}$的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，b_n}=3（$\frac{2}{3}$）^n-1，
∴a_n+1-a_n=3×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+3+3×$（\frac{2}{3}）$+3×$（\frac{2}{3}）^{2}$+…+3×$（\frac{2}{3}）^{n-2}$
=$1+3×\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n-1}}{1-\frac{2}{3}}$
=10-9×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．