Question

10．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4}sin（\frac{π}{2}x）（0≤x≤1）}\\{（\frac{1}{4}）^{x}+1（x＞1）}\end{array}\right.$，则f（1）=$\frac{5}{4}$，若关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0（a，b∈R）），有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）∪（-$\frac{9}{4}$，-1）．

Answer 1

分析 可求得f（1）=$\frac{5}{4}$sin（$\frac{π}{2}$）=$\frac{5}{4}$，作函数的图象，分类讨论即可．

解答 解：f（1）=$\frac{5}{4}$sin（$\frac{π}{2}$）=$\frac{5}{4}$，
作函数y=f（x）的图象如右图，

设方程x²+ax+b=0的两个根为x₁，x₂；
①若x₁=$\frac{5}{4}$，1＜x₂＜$\frac{5}{4}$，
故x₁+x₂=-a∈（$\frac{9}{4}$，$\frac{5}{2}$），
故a∈（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；
②若0＜x₁≤1，1＜x₂＜$\frac{5}{4}$，
故x₁+x₂=-a∈（1，$\frac{9}{4}$），
故a∈（-$\frac{9}{4}$，-1）；
故答案为：$\frac{5}{4}$，（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）∪（-$\frac{9}{4}$，-1）．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想的应用．