Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1+2lnx}{x^2}$，且方程f（x）-m=0有两个相异实数根x₁，x₂（x₁＞x₂）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求实数m的取值范围；
（3）证明：x₁²x₂+x₁x₂²＞2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；
（2）根据函数的单调性求出f（x）的最大值，通过讨论m的范围，结合函数的单调性判断出方程f（x）-m=0有两个相异实数根的m的范围即可；
（3）由f（x₁）=f（x₂），得$\frac{1+2l{nx}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{1+2l{nx}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}}$，令x₁=x₂t，∵x₁＞x₂，∴t＞1，问题转化为证明$\frac{{t}^{2}+1}{{t}^{2}-1}$lnt-1＞0，即证lnt-$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}+1}$＞0，（*），令g（t）=lnt-$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}+1}$，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=$\frac{-4lnx}{{x}^{3}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）递增；
（2）由（1），令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
故f（x）_max=f（1）=1，
①m＞1时，f（x）=m无解，
②m=1时，f（x）=1有1个解，
③m≤0，x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，f（x）=m无解，
x∈（0，1）时，f（x）递增，f（x）=m至多1个解，
故x∈（0，+∞）时，f（x）=m至多1个解，
④0＜m＜1时，x∈（0，1）时，f（x）递增，f（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=0，f（1）=1，f（x）的图象不间断，
f（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）＜m＜f（1），f（x）=m在（$\frac{1}{\sqrt{e}}$，1）内有1个解，即在（0，1）内有1个解，
x∈（1，+∞）时，f（x）是减函数，先证明lnx≤$\frac{1}{e}$x，
令g（x）=lnx-$\frac{1}{e}$x，则g′（x）=$\frac{e-x}{ex}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，
故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
故g（x）_max=g（e）=0，故lnx≤$\frac{1}{e}$x，
x∈（1，+∞）时，f（x）=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$≤$\frac{1+\frac{2}{e}x}{{x}^{2}}$＜$\frac{1+x}{{x}^{2}}$＜$\frac{2x}{{x}^{2}}$=$\frac{2}{x}$，
令$\frac{2}{x}$=m，即x=$\frac{2}{m}$时，f（$\frac{2}{m}$）＜m，又m＜f（1），f（x）在（1，+∞）递减，
故f（x）=m在（1，$\frac{2}{m}$）内有1解，即在（1，+∞）内有1解，
综上，当且仅当0＜m＜1时，f（x）=m在（0，+∞）内有2解，
实数m的范围是（0，1）；
（3）由f（x₁）=f（x₂），得$\frac{1+2l{nx}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{1+2l{nx}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}}$，
令x₁=x₂t，∵x₁＞x₂，∴t＞1，
$\frac{1+2lnt+2l{nx}_{2}}{{t}^{2}}$=1+2lnx₂，
则lnx₂=$\frac{1}{{t}^{2}-1}$lnt-$\frac{1}{2}$，
下面证明x₁x₂＞1，
∵lnx₁+lnx₂=2lnx₂+lnt=$\frac{{t}^{2}+1}{{t}^{2}-1}$lnt-1，
故只需证明$\frac{{t}^{2}+1}{{t}^{2}-1}$lnt-1＞0，即证lnt-$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}+1}$＞0，（*），
令g（t）=lnt-$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}+1}$，
∵g′（t）=$\frac{{{（t}^{2}-1）}^{2}}{{{（t}^{2}+1）}^{2}}$＞0，
∴g（t）在（1，+∞）递增，g（t）在（0，+∞）上的图象不间断，
则g（t）＞g（1）=0，（*）成立，故x₁x₂＞1，
由基本不等式得x₁+x₂＞2$\sqrt{{{x}_{1}x}_{2}}$＞2，
故x₁²x₂+x₁x₂²＞2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．