Question

20．（1）解不等式|x-1|+|x-2|≥5；
（2）已知$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1（{m＞0，n＞0}）$，若m+4n≥|x-1|-|x-a|恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；
（2）根据基本不等式的性质求出m+4n的最小值，问题转化为|x-1|-|x-a|≤9恒成立，根据绝对值的性质得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）|x-1|+|x-2|≥5
?$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{x-1+x-2≥5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜2}\\{x-1-x+2≥5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{-x+1-x+2≥5}\end{array}\right.$，
解得：x≥4或x∈∅或x≤-1，
故原不等式的解集是（-∞，-1]∪[4，+∞）；
（2）m+4n=（m+4n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=5+$\frac{4n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥9，
当且仅当$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=1，m=2n即m=3，n=$\frac{3}{2}$时取“=”，
∵m+4n≥|x-1|-|x-a|恒成立，
∴|x-1|-|x-a|≤9恒成立，
故|x-1-x+a|=|a-1|≤9，解得：-8≤a≤10，
故a的范围是[-8，10]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．