Question

10．已知椭圆C：2x²+3y²=6的左焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，求线段AB的长；
（Ⅲ）设线段AB的中点为P，O为坐标原点，直线OP交椭圆C交于M、N两点，是否存在直线l使得|NP|=3|PM|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将椭圆方程化为标准方程，求得a，b，c，进而得到离心率；
（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，即为x=-1，代入椭圆方程，求得纵坐标，进而得到弦长；
（Ⅲ）设直线AB：x=my-1，代入椭圆方程，可得（3+2m²）y²-4my-4=0，运用韦达定理，以及中点坐标公式可得P的坐标，再由向量共线的坐标表示，解方程可得m，进而判断存在这样是直线l．

解答 解：（Ⅰ）椭圆C：2x²+3y²=6，即为
$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，可得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，c=1，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，即为x=-1，
代入椭圆方程可得y²=$\frac{4}{3}$，解得y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
则线段AB的长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅲ）由F（-1，0），设直线AB：x=my-1，代入椭圆方程，
可得（3+2m²）y²-4my-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=$\frac{4m}{3+2{m}^{2}}$，
即有中点P的坐标为（$\frac{-3}{3+2{m}^{2}}$，$\frac{2m}{3+2{m}^{2}}$），
直线OP：y=-$\frac{2m}{3}$x，代入椭圆方程，可得
x=±$\frac{3}{\sqrt{3+2{m}^{2}}}$，
可设x_N=$\frac{3}{\sqrt{3+2{m}^{2}}}$，x_M=-$\frac{3}{\sqrt{3+2{m}^{2}}}$，
假设存在直线l使得|NP|=3|PM|，
即有$\overrightarrow{NP}$=3$\overrightarrow{PM}$，
即为$\frac{-3}{3+2{m}^{2}}$-$\frac{3}{\sqrt{3+2{m}^{2}}}$=3（-$\frac{3}{\sqrt{3+2{m}^{2}}}$-$\frac{-3}{3+2{m}^{2}}$），
解得m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则存在直线l：x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$y-1，使得|NP|=3|PM|．

点评 本题考查椭圆的方程和性质的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．