Question

2．以下几个命题中：其中真命题的序号为③④（写出所有真命题的序号）
①设A，B为两点定点，k为非零常数，|$\overrightarrow{PA}$|-|$\overrightarrow{PB}$|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$则动点P的轨迹为椭圆；
③双曲线$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$与椭圆$\frac{{x}^{2}}{35}+{y}^{2}$=1有相同的焦点；
④若方程2x²-5x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则0＜a＜3；
⑤在平面内，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y-10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线．

Answer 1

分析 ①根据双曲线的定义知①不正确；
②设出定圆的方程，利用代入法分析可知AB中点P的轨迹为圆（除去A点）；
③求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，即可判定；
④双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率小于1大于0，即可判定．；⑤说明点（2，1）在直线3x+4y-10=0上，不满足抛物线的定义．

解答 解：①平面内与两个定点F₁，F₂的距离的差的绝对值等于常数k（k＜|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线，当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，∴①不正确；
②，设定圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，点A（m，n），P（x，y），由$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$可知P为AB的中点，则B（2x-m，2y-n），因为AB为圆的动弦，所以B在已知圆上，把B的坐标代入圆x²+y²+Dx+Ey+F=0得到P的轨迹仍为圆，当B与A重合时AB不是弦，所以点A除外，所以②不正确；
③双曲线$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$与椭圆$\frac{{x}^{2}}{35}+{y}^{2}=1$的焦点都是（±$\sqrt{34}$，0），有相同的焦点，正确；
④正确方程2x²-5x+a=0的可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{2-5+a＜0}\end{array}\right.$，∴0＜a＜3，正确；
⑤在平面内，点（2，1）在直线3x+4y-10=0上，
∴到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y-10=0的距离相等的点的轨迹不是抛物线，∴⑤不正确
故答案为：③④．

点评 本题通过命题真假的判定，考查椭圆、双曲线抛物线的定义、性质和曲线的方程与方程的曲线等问题，是综合题目．