Question

13．若正方体外接球的体积是$\frac{9}{2}$π，则正方体的棱长等于$\sqrt{3}$；该正方体内切球的表面积为3π．

Answer 1

分析 先求出正方体外接球的半径，从而求出正方体的棱长，进而求出该正方体内切球的半径，由此能求出该正方体内切球的表面积．

解答 解：设正方体外接球的半径为R，
∵正方体外接球的体积是$\frac{9}{2}$π，
∴$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{9}{2}π$，解得R=$\frac{3}{2}$．
设正方体的棱长为a，则$\sqrt{3}a=3$，解得a=$\sqrt{3}$，
∴该正方体内切球的半径r=$\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴该正方体内切球的表面积为S=4πr²=4π×$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=3π．
故答案为：$\sqrt{3}$，3π．

点评 本题考查正方体的棱长及正方体内切球的表面积的求法，是中档题，注意正方体及外接球、内切球的性质的合理运用．