Question

已知向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

），
（1）求证：

a

⊥

b

；
（2）若存在不同时为0的实数k和t，使

x

=

a

+（t-3）

b

，

y

=-k

a

+t

b

，且

x

⊥

y

，试求函数关系式k=f（t）；
（3）求函数k=f（t）的最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据向量

a

和

b

的坐标，利用两个向量的数量积公式求得

a

•

b

=0，可得 

a

⊥

b

．
（2）根据|

a

|=2，|

b

|=1，

a

•

b

=0，

x

⊥

y

，求得 

x

•

y

=[

a

+(t-3)

b

]•（k

a

+t

b

）=0，可得函数关系式k=f（t）．
（3）由（2）可得k=

t2-3t

4

=

(t- 3 2 )2- 9 4

4

，利用二次函数的性质求得它的最小值．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

），∴

a

•

b

=

3

×

1

2

+（-1）×

3

2

=0，
∴

a

⊥

b

．
（2）∵|

a

|=2，|

b

|=1，

a

•

b

=0，

x

⊥

y

，
∴

x

•

y

=[

a

+(t-3)

b

]•（-k

a

+t

b

）=-k

a

2+（-kt+3k+t）

a

•

b

+t（t-3）

b

2 
=-k×4+0+t（t-3）×1=0，
∴k=

t2-3t

4

(t≠0，t≠3)．
（3）根据 k=

t2-3t

4

=

(t- 3 2 )2- 9 4

4

，∴当t=

3

2

时，kmin=-

9

16

．

点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于中档题．