Question

19．如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2CD=2，侧面APD为等腰直角三角形，PA⊥PD，平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：PA⊥面PCD；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出DC⊥PA，PA⊥PD，由此能证明PA⊥平面PCD．
（Ⅱ）以P为坐标原点，分别以PA、PD所在直线为x、y轴，以过点P作平面PAD的垂线为z轴，建空间直角坐标系P-xyz，利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，
∴DC⊥平面PAD，∴DC⊥PA，
又∵PA⊥PD，DC∩PD=D，
∴PA⊥平面PCD．
解：（Ⅱ）以P为坐标原点，分别以PA、PD所在直线为x、y轴，以过点P作平面PAD的垂线为z轴，建空间直角坐标系P-xyz如图．
∵AD=2BC=2CD=2，侧面APD为等腰直角，∴PD=PA=$\sqrt{2}$，
∴P（0，0，0），B（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），C（0，$\sqrt{2}$，1），A（$\sqrt{2}$，0，0），
$\overrightarrow{PA}$=（$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），$\overrightarrow{PC}$=（0，$\sqrt{2}$，1），
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=\sqrt{2}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}$，-1），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=\frac{\sqrt{2}}{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}b+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{2}b+c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，-$\sqrt{2}$），
设二面角A-PB-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}•\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{15}$．
∴二面角A-PB-C的余弦值为$\frac{2\sqrt{30}}{15}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查二面角的余弦值的求法，注意解题方法的积累，属于中档题．