Question

1．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^3，x∈[0，1]}\\{\sqrt{x}，x∈（1，2]}\\{{2}^{x}，x∈（2，3]}\end{array}\right.$，求${∫}_{0}^{3}$f（x）dx的值．

Answer 1

分析 根据定积分的计算法则进行计算即可．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^3，x∈[0，1]}\\{\sqrt{x}，x∈（1，2]}\\{{2}^{x}，x∈（2，3]}\end{array}\right.$，
∴${∫}_{0}^{3}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$x³dx+${∫}_{1}^{2}$$\sqrt{x}$dx+${∫}_{2}^{3}$2^xdx=$\frac{1}{4}{x}^{4}$|${\;}_{0}^{1}$+$\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$|${\;}_{1}^{2}$+$\frac{{2}^{x}}{ln2}$|${\;}_{2}^{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$-$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{ln2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$-$\frac{5}{12}$+$\frac{4}{ln2}$．

点评 本题主要考查了分段函数的定积分，以及定积分的几何意义，同时考查了计算能力，属于中档题．