Question

18．已知椭圆L：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点于抛物线y²=8x的焦点重合，点（2，$\sqrt{2}$）在L 上．
（Ⅰ）求L 的方程；
（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得抛物线的焦点，可得c=2，再由点满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k，b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，可得直线OM的斜率，进而得到证明．

解答 解：（Ⅰ）抛物线y²=8x的焦点为（2，0），
由题意可得c=2，即a²-b²=4，
又点（2，$\sqrt{2}$）在L上，可得
$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$=1，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=2，
即有椭圆L：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y=kx+b（k，b≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线y=kx+b代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得
（1+2k²）x²+4kbx+2b²-8=0，
x₁+x₂=-$\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}$，
即有AB的中点M的横坐标为-$\frac{2kb}{1+2{k}^{2}}$，纵坐标为-k•$\frac{2kb}{1+2{k}^{2}}$+b=$\frac{b}{1+2{k}^{2}}$，
直线OM的斜率为k_OM=$\frac{{y}_{M}}{{x}_{M}}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{k}$，
即有k_OM•k=-$\frac{1}{2}$．
则OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程和a，b，c的关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．