Question

8．若x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}3x-4≥0\\ y≥1\\ 3x+y-6≤0\end{array}\right.$，表示平面区域为D，已知点O（0，0），A（1，0），点M是D上的动点，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}=λ|\overrightarrow{OM}|$，则λ的最大值为$\frac{{5\sqrt{34}}}{34}$．

Answer 1

分析 作出可行域，由题意和数量积的运算可得λ=$\sqrt{\frac{1}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}}$，数形结合由斜率的意义求出k=$\frac{y}{x}$的最小值可得．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}3x-4≥0\\ y≥1\\ 3x+y-6≤0\end{array}\right.$所对应的可行域D（如图△MNP），
由题意可得$\overrightarrow{OA}$=（1，0），设M（x，y），则$\overrightarrow{OM}$=（x，y），
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}=λ|\overrightarrow{OM}|$可化为x=λ$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
则λ=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{1}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}}$，
数形结合可知当取区域中的点M（$\frac{5}{3}$，1）与原点连线的斜率k=$\frac{y}{x}$取最小值$\frac{3}{5}$，
λ=$\sqrt{\frac{1}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}}$取最大值$\sqrt{\frac{1}{1+（\frac{3}{5}）^{2}}}$=$\frac{{5\sqrt{34}}}{34}$，
故答案为：$\frac{{5\sqrt{34}}}{34}$．

点评 本题考查简单线性规划，准确作图并变形目标函数利用斜率的范围是解决问题的关键，属中档题．