Question

16．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值为$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意整体代入可得$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）（a+b）=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{b}{a}$+$\frac{2a}{b}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵a＞0，b＞0，且a+b=2，
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）（a+b）
=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{b}{a}$+$\frac{2a}{b}$）≥$\frac{1}{2}$（3+2$\sqrt{2}$）=$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{2a}{b}$即b=$\sqrt{2}$a时取等号，
结合a+b=2可解得a=2$\sqrt{2}$-2且b=4-2$\sqrt{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体代入并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．