Question

4．如图，平面四边形ABCD中，CD=$\sqrt{3}$，∠CBD=30°，∠BCD=120°，AB=$\sqrt{5}$，AD=2$\sqrt{2}$，求
（Ⅰ）BD；
（Ⅱ）∠ADB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△BCD中，由已知及正弦定理即可计算求得BD=$\frac{CD•sin∠BCD}{sin∠CBD}$的值．
（Ⅱ）由已知及余弦定理可求cos∠ADB=$\frac{A{D}^{2}+B{D}^{2}-A{B}^{2}}{2AD•BD}$ 的值，即可得解∠ADB=45°．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理得：$\frac{BD}{sin∠BCD}$=$\frac{CD}{sin∠CBD}$，…（3分）
故BD=$\frac{CD•sin∠BCD}{sin∠CBD}$=$\frac{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$=3，…（6分）
（Ⅱ）在△ABD中，由余弦定理得：cos∠ADB=$\frac{A{D}^{2}+B{D}^{2}-A{B}^{2}}{2AD•BD}$ …（8分）
=$\frac{（2\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}{2×2\sqrt{2}×3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（10分）
所以∠ADB=45°．  …（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．