Question

12．已知定义在R上的函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）的最小值为-2，其相邻两条对称轴距离为$\frac{π}{2}$，函数图象向左平移$\frac{π}{12}$单位后所得图象对应的函数为偶函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=-$\frac{3}{8}$，且x₀∈[$\frac{π}{2}，π$]，求cos（x₀+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由最值求得A，由周期性求得ω，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得φ，可得函数的解析式．
（2）由条件求得sin（x₀+$\frac{π}{3}$）和cos（x₀+$\frac{π}{3}$）的值，再利用两角差的余弦公式，求得cos（x₀+$\frac{π}{6}$）=cos（x₀+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：（1）根据函数的最小值为-2，可得A=2，
再根据其相邻两条对称轴距离为$\frac{π}{2}$，可得$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2，
故函数f（x）=2sin（2x+φ）．
结合函数图象向左平移$\frac{π}{12}$单位后，所得图象对应的函数y=2sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+φ]
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$+φ）为偶函数，
∴$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
结合，|φ|≤$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）若f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=2sin（x₀+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{8}$，∴sin（x₀+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{16}$．
∵x₀∈[$\frac{π}{2}，π$]，∴（x₀+$\frac{π}{3}$）∈（π，$\frac{4π}{3}$]，∴cos（x₀+$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}{（x}_{0}+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{\sqrt{247}}{16}$．
∴cos（x₀+$\frac{π}{6}$）=cos（x₀+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=cos（x₀+$\frac{π}{3}$）•cos$\frac{π}{6}$+sin（x₀+$\frac{π}{3}$）•sin$\frac{π}{6}$
=-$\frac{\sqrt{741}}{32}$-$\frac{3}{32}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．