Question

3．已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间M上的函数，若对任意的x∈M，存在常数x₀∈M，使得f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀），且f（x₀）=g（x₀），则称f（x）与g（x）在区间M上是“相似函数”．若f（x）=ax²+2（a-1）x-2lnx+b（a，b∈R）与g（x）=x+$\frac{1}{x}$在区间[$\frac{1}{2}$，2]上是“相似函数”，则a，b的值分别是（　　）

• A． a=1，b=1
• B． a=-1，b=-1
• C． a=1，b=-1
• D． a=-1，b=1

Answer 1

分析 由基本不等式求得g（x）的最小值及取最小值时x₀的值，再利用导数求得使f（x）取得最值时的a值，然后再代入f（x₀）=2求得b值．

解答 解：∵当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，g（x）=x+$\frac{1}{x}$≥2，当且仅当x=1时取等号，
∴x₀=1，g（x₀）=2；
∵f′（x）=2ax+2（a-1）$-\frac{2}{x}$=$\frac{2（ax-1）（x+1）}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
①当a≤0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上单调递减，不合题意；
②当a＞0时，由f′（x）＜0，得0$＜x＜\frac{1}{a}$，f′（x）＜0，得x$＞\frac{1}{a}$，
故函数f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递增，依题意得$\frac{1}{a}=1$，即a=1．
$f（{x}_{0}）=f（1）=a•{1}^{2}+2（a-1）•1-2ln1+b=3a-2+b=2$，解得：b=1．
故选：A．

点评 本题是新定义题，考查了利用基本不等式求函数的最值，训练了利用导数求函数的最值，题目综合性强，关键是对题意的理解，属中档题．