Question

11．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB=AA₁=$\sqrt{2}$．平面OCB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为（　　）

• A． （0，1，1）
• B． （1，-1，1）
• C． （0，1，-1）
• D． （-1，-1，1）

Answer 1

分析 易知$\overrightarrow{OC}$=（1，0，0），$\overrightarrow{AB}$=（1，1，0），从而可得$\overrightarrow{O{B}_{1}}$=$\overrightarrow{O{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（1，1，1），结合$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{n}$=x=0，$\overrightarrow{O{B}_{1}}$•$\overrightarrow{n}$=x+y+z=0，从而解得．

解答 解：∵ABCD是正方形，且AB=$\sqrt{2}$，
∴AO=OC=1，
∴$\overrightarrow{OC}$=（1，0，0），
∵A（-1，0，0），B（0，1，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，1，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（1，1，0），
∵OA=1，AA₁=$\sqrt{2}$，
∴OA₁=$\sqrt{2-1}$=1，
故$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=（0，0，1），
故$\overrightarrow{O{B}_{1}}$=$\overrightarrow{O{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（1，1，1），
∵向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面OCB₁的法向量，
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{n}$=x=0，
$\overrightarrow{O{B}_{1}}$•$\overrightarrow{n}$=x+y+z=0，
故x=0，y=-z，
结合选项可知，
当y=1时，z=-1，
故选：C．

点评 本题考查了空间向量的应用及平面的法向量的求法．