Question

20．为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸的这边选取点C、D，测得∠ADC=75°，∠BDC=60°，∠ACD=45°，∠BCD=75°，CD=20$\sqrt{3}$m，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B之间的距离．

Answer 1

分析 在△BCD中使用正弦定理解出BC，在△ACD中使用正弦定理解出AC，在△ABC中使用余弦定理解出AB．

解答 解：在△BCD中，∠CBD=180°-∠BDC-∠BCD=45°，
由正弦定理得$\frac{CD}{sin∠CBD}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，即$\frac{20\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，解得BC=30$\sqrt{2}$m．
在△ACD中，∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=60°．
由正弦定理得$\frac{CD}{sin∠CAD}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，即$\frac{20\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{AC}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$，解得AC=10$\sqrt{6}$+10$\sqrt{2}$m．
在△ABC中，∠ACB=∠BCD-∠ACD=30°，
由余弦定理得AB²=AC²+BC²-2AC×BC×cos∠ACB=800-200$\sqrt{3}$．
∴AB=10$\sqrt{8-2\sqrt{3}}$m．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．