Question

15．定义$\overline{abc}$是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定义如下运算f：把$\overline{abc}$的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100-001-099，f（102）=210-0.12-198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为$\overline{{a}_{1}{b}_{1}{c}_{1}}$，对于n＞1且n∈N，$\overline{{a}_{n}{b}_{n}{c}_{n}}=f（\overline{{a}_{n-1}{b}_{n-1}{c}_{n-1}}）$，将$\overline{{a}_{n}{b}_{n}{c}_{n}}$的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d_n
（Ⅰ）当$\overline{abc}$=636时，求$\overline{{a}_{1}{b}_{1}{c}_{1}}$，$\overline{{a}_{2}{b}_{2}{c}_{2}}$及d₂的值；
（Ⅱ）若d₁=6，求证：当n＞1时，d_n=5；
（Ⅲ）求证：对任意三位数$\overline{abc}$，n≥6时，$\overline{{a}_{n}{b}_{n}{c}_{n}}$=495．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用新定义之间通过$\overline{abc}$=636时，求解$\overline{{a}_{1}{b}_{1}{c}_{1}}$，$\overline{{a}_{2}{b}_{2}{c}_{2}}$及d₂的值；
（Ⅱ）不妨设，a_n≥b_n≥c_n，推出f（$\overline{{a}_{n}{b}_{n}{c}_{n}}$）=d_n×99，若d₁=6，得到$\overline{{a}_{2}{b}_{2}{c}_{2}}$=f（$\overline{{a}_{1}{b}_{1}{c}_{1}}$）=6×99=495，可得d₂=5，然后利用数学归纳法证明当n＞1时，d_n=5；
（Ⅲ）数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d，推出d₁=$\left\{\begin{array}{l}{10-d，d≤5}\\{d-1，d＞5}\end{array}\right.$，d_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{10-{d}_{n}，{d}_{n}≤5}\\{{d}_{n}-1，{d}_{n}＞5}\end{array}\right.$，d_n∈{5，6，7，8，9}，证明对任意三位数$\overline{abc}$，n≥6时，$\overline{{a}_{n}{b}_{n}{c}_{n}}$=495．

解答 解：（Ⅰ）当$\overline{abc}$=636时，$\overline{{a}_{1}{b}_{1}{c}_{1}}$=663-366-297，
$\overline{{a}_{2}{b}_{2}{c}_{2}}$=972-279-693
d₂=6；
（Ⅱ）不妨设，a_n≥b_n≥c_n，则f（$\overline{{a}_{n}{b}_{n}{c}_{n}}$）=（a_n×100+b_n×10+c_n）-（c_n×100+b_n×10+a_n）=（a_n-c_n）×99=d_n×99，若d₁=6，则$\overline{{a}_{2}{b}_{2}{c}_{2}}$=f（$\overline{{a}_{1}{b}_{1}{c}_{1}}$）=6×99=495，可得d₂=9-4=5，
所以n=2时成立，假设n=k（k＞1）时成立，即d_k=5，
则$\overline{{a}_{k+1}{b}_{k+1}{c}_{k+1}}$=f（$\overline{{a}_{n}{b}_{n}{c}_{n}}$）=d_k×99=495，d_k+1=9-4=5．
综上：当n＞1时，d_n=5；
（Ⅲ）数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d，
则d∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，$\overline{{a}_{1}{b}_{1}{c}_{1}}$=f（$\overline{abc}$）=$d×99=100d-d=\overline{d00}-\overline{00d}$，所以a₁=d-1，b₁=9，c₁=10-d，所以d₁=$\left\{\begin{array}{l}{10-d，d≤5}\\{d-1，d＞5}\end{array}\right.$，所以d₁∈{5，6，7，8，9}，
同理：$\overline{{a}_{n+1}{b}_{n+1}{c}_{n+1}}$=f（$\overline{{a}_{n}{b}_{n}{c}_{n}}$）=d_k×99=$\overline{{d}_{n}00}-\overline{00{d}_{n}}$，所以a_n+1=d_n-1，b_n+1=9，c_n+1=10-d_n，
所以d_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{10-{d}_{n}，{d}_{n}≤5}\\{{d}_{n}-1，{d}_{n}＞5}\end{array}\right.$，dn∈{5，6，7，8，9}，
当n≤5时，d_n=5，所以n≥6时，n≥6时，$\overline{{a}_{n}{b}_{n}{c}_{n}}$=d_n+1×99=5×99=495．

点评 本题考查归纳推理，数学归纳法的应用，数列与函数的关系，考查分析问题解决问题的能力．