Question

7．Rt△ABC中，∠A=90°，sin$\frac{B}{2}$sin$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{8}$．若∠B，∠C的平分线的长的乘积为8，BC=4．

Answer 1

分析 由条件求得角平分线BM、CN的解析式，可得$\frac{bc}{cos\frac{B}{2}•cos\frac{C}{2}}$=8，即bc=8cos$\frac{B}{2}$•cos$\frac{C}{2}$ ①．sin$\frac{B}{2}$sin$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{8}$，求得bc=16sinB•sinC，再利用正弦定理求得a²=$\frac{bc}{sinB•sinC}$ 的值，可得a=BC的值．

解答 解：如图所示：Rt△ABC中，∠A=90°，BM、CN分别
为∠B、∠C的平分线，
则BM=$\frac{AB}{cos\frac{B}{2}}$=$\frac{c}{cos\frac{B}{2}}$，CN=$\frac{AC}{cos\frac{C}{2}}$=$\frac{b}{cos\frac{C}{2}}$，
由∠B，∠C的平分线的长的乘积为8，
可得$\frac{bc}{cos\frac{B}{2}•cos\frac{C}{2}}$=8，即bc=8cos$\frac{B}{2}$•cos$\frac{C}{2}$ ①．
再根据正弦定理可得$\frac{bc}{sinB•sinC}$=$\frac{{a}^{2}}{{sin}^{2}A}$=a²，即．
∵sin$\frac{B}{2}$sin$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{8}$，∴8sin$\frac{B}{2}$•sin$\frac{C}{2}$=1，
∴bc=8cos$\frac{B}{2}$•cos$\frac{C}{2}$•1=8cos$\frac{B}{2}$•cos$\frac{C}{2}$•8sin$\frac{B}{2}$•sin$\frac{C}{2}$=16sinB•sinC，
∴a²=$\frac{bc}{sinB•sinC}$=16，∴a=4，即 BC=4，
故答案为：4．

点评 本题主要考查直角三角形中的边角关系，正弦定理、二倍角的正弦公式的应用，属于中档题．