Question

17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），点P（2，$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$）在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线，交椭圆C于A、B两点，点M在椭圆C上，坐标原点O恰为△ABM的重心，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得c=2，|PF|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，运用勾股定理可得|PF₁|，再由椭圆的定义可得2a，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）显然直线l与x轴不垂直，设l：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，运用韦达定理和三角形的重心坐标公式可得M的坐标，代入椭圆方程，解方程即可得到所求直线的方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得c=2，左焦点F₁（-2，0），|PF|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以|PF₁|=$\sqrt{|PF{|}^{2}+4{c}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$，即2a=|PF|+|PF₁|=2$\sqrt{6}$，
即a²=6，b²=a²-c²=2，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）显然直线l与x轴不垂直，
设l：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
将l的方程代入C得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，
可得x₁+x₂=$\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
所以AB的中点N （$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{-2k}{1+3{k}^{2}}$），
由坐标原点O恰为△ABM的重心，可得M （$\frac{-12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{4k}{1+3{k}^{2}}$）．
由点M在C上，可得15k⁴+2k²-1=0，
解得k²=$\frac{1}{5}$或-$\frac{1}{3}$（舍），即k=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$（x-2）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和a，b，c的关系及点满足椭圆方程，同时考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和三角形的重心坐标公式，考查运算能力，属于中档题．