Question

13．设α、β是方程x²-ax+b=0的两个实数根，试分析a＞1且b＞1是两根α、β均大于1的什么条件？

Answer 1

分析 根据韦达定理表示出a，b，设出判断条件和结论，根据题意分别证明．

解答 解：根据韦达定理得：a=α+β，b=αβ，
判定条件是p：a＞1且b＞1，
结论是q：α＞1且β＞1；（注意：条件p中，a，b需满足的大前提△=a²-4b≥0）
（1）由 α＞1且β＞1，得a=α+β＞2＞1，b=αβ＞1，
∴q⇒p；
（2）为了证明p⇒q，可以举出反例：取α=4，β=$\frac{1}{2}$，
它满足a=α+β=4+$\frac{1}{2}$＞1，b=αβ=4×$\frac{1}{2}$=2＞1，但q不成立
上述讨论可知：a＞1，b＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分条件

点评 本题考查了韦达定理，考查充分必要条件，是一道中档题．