Question

17．已知{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+1=3S_n+2n+1，a₁=1，
（1）求a_n；
（2）若b_n=n（a_n+1），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n+1=3S_n+2n+1可得到S_n=3S_n-1+2n-1，然后两式相减可得到S_n+1-S_n=3（S_n-S_n-1）+2，即a_n+1=3a_n+2，再两边同时加1可得到a_n+1+1=3（a_n+1），得到数列{a_n+1}为等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（2）求得b_n，再由错位相减法，可得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由已知S_n+1=3S_n+2n+1，
得n≥2时，S_n=3S_n-1+2n-1，
两式相减，得S_n+1-S_n=3（S_n-S_n-1）+2，
即a_n+1=3a_n+2，从而a_n+1+1=3（a_n+1）．
又a₁+1=2≠0，
即{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，3为公比的等比数列．
则a_n+1=2•3^n-1，
∴a_n=2•3^n-1-1；
（2）b_n=n（a_n+1）=2n•3^n-1，
T_n=2•1+4•3+6•3²+…+2n•3^n-1，①
3T_n=2•3+4•3²+6•3³+…+2n•3ⁿ，②
①-②得，-2T_n=2+2（3+3²+…+3^n-1）-2n•3ⁿ
=2+2•$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-2n•3ⁿ，
化简可得T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}+1}{2}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的求和方法：错位相减法，是中档题．