Question

6．在△ABC中，已知a+b=5，c=$\sqrt{7}$且4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$．
（1）求角C；
（2）求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）由三角形的内角和定理及诱导公式化简已知的等式4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，再根据二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后得到关于cosC的方程，求出方程的解得到cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）利用余弦定理表示出c²=a²+b²-2abcosC，再根据完全平方公式变形后，将a+b，c及cosC的值代入求出ab的值，然后再由ab，sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答 解：（1）∵A+B+C=180°，
∴$\frac{A+B}{2}$=90°-$\frac{C}{2}$，
由4sin2$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$得：4cos2$\frac{C}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，
∴4•$\frac{1+cosC}{2}$-（2cos2C-1）=$\frac{7}{2}$，
整理得：4cos²C-4cosC+1=0，
解得：cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0°＜C＜180°，
∴C=60°；
（2）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即7=a²+b²-ab，
∴7=（a+b）²-3ab=25-3ab?ab=6，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：诱导公式，二倍角的余弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．