Question

14．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-$\sqrt{3}$y=2相切．
（1）求圆O的方程；
（2）设M（-2，0），N（2，0），过N的动直线l交圆O于A，B两点，求△AMB面积最大时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用以O为圆心的圆与直线x-$\sqrt{3}$y=2相切，求出圆的半径，即可求圆O的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则△AMB面积=$\frac{1}{2}•4$|y₁-y₂|=2|y₁-y₂|，求出|y₁-y₂|²_max，即可求△AMB面积最大时直线l的方程．

解答 解：（1）圆心到直线的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+3}}$=1，
∵以O为圆心的圆与直线x-$\sqrt{3}$y=2相切，
∴圆O的方程为x²+y²=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则△AMB面积=$\frac{1}{2}•4$|y₁-y₂|=2|y₁-y₂|．
设过N的动直线l的方程为x=my+2，圆心到直线的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}＜1$，∴1+m²＞4
x=my+2代入圆的方程可得（1+m²）y²+4my+3=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{4m}{1+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{3}{1+{m}^{2}}$，
∴|y₁-y₂|²=（-$\frac{4m}{1+{m}^{2}}$）²-$\frac{12}{1+{m}^{2}}$=$\frac{4{m}^{2}-12}{（1+{m}^{2}）^{2}}$
令1+m²=t（t＞4），∴|y₁-y₂|²=$\frac{4t-16}{{t}^{2}}$=-16（$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{8}$，即t=8时，|y₁-y₂|²_max=$\frac{1}{4}$，
∴△AMB面积最大为1，此时m=±$\sqrt{7}$，直线l的方程为x=±$\sqrt{7}$+2．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．