Question

6．已知在数列{a_n}中，设a₁为首项，其前n项和为S_n，若对任意的正整数m，n都有不等式S_2m+S_2n＜2S_m+n（m≠n）恒成立，且2S₆＜S₃．
（1）设数列{a_n}为等差数列，且公差为d，求$\frac{{a}_{1}}{d}$的取值范围；
（2）设数列{a_n}为等比数列，且公比为q（q＞0且q≠1），求a₁•q的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，由于数列是等差数列，运用等差数列的求和公式，建立不等式，进一步求出相应的结果；
（2）根据已知条件，由于数列是等比数列，运用等比数列的求和公式，建立不等式，进一步求出相应的结果．

解答 解：（1）在数列{a_n}中，设a₁为首项，其前n项和为S_n，
若对任意的正整数m、n都有不等式S_2m+S_2n＜2S_m+n（m≠n）恒成立，
设{a_n}为等差数列，且公差为d，
则：2ma₁+$\frac{2m（2m-1）}{2}$d+2na₁+$\frac{2n（2n-1）}{2}$d＜2[（m+n）a₁+$\frac{（m+n）（m+n-1）}{2}$d]，
整理得：（m-n）²d＜0，则d＜0，
由2S₆＞S₃，整理得：9a₁+27d＞0，
则a₁＞-3d
所以d＜0，$\frac{{a}_{1}}{d}$＜-3；
（2）在数列{a_n}中，设a₁为首项，其前n项和为S_n，
若对任意的正整数m、n都有不等式S_2m+S_2n＜2S_m+n（m≠n）恒成立，
设{a_n}为等比数列，且公比为q（q＞0且q≠1），
则$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2m}）}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}$＜$\frac{2{a}_{1}（1-{q}^{m+n}）}{1-q}$，
整理得$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（2q^m+n-q^2m-q²ⁿ）＜0，
则：-$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（q^m-qⁿ）²＜0，
所以$\frac{{a}_{1}}{1-q}$＞0，
由2S₆＞S₃
则：2q⁶-q³-1＜0
解得：-$\frac{1}{2}$＜q³＜1，
由于q＞0，所以：0＜q＜1
则：a₁＞0．
即有a₁q＞0．

点评 本题考查的知识要点：等差数列和等比数列前n项和公式的应用，和相关的运算问题．属于中等题．