Question

【题目】已知函数 （a∈R，e为自然对数的底数），，其中在x=0处的切线方程为y=bx.

（1）求a，b的值；

（2）求证：；

（3）求证：有且仅有两个零点.

Answer 1

【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【解析】

（1）求导得到，，，解得答案.

（2）先证明，，再证明，得到，得到答案.

（3）求导得到，确定导函数单调递增，故存在使，故函数在上单调递减，在上单调递增，根据零点存在定理得到答案.

（1），，

故，，故，.

（2）先证明，设，则，函数在上单调递减，在上单调递减，故，故恒成立.

再证明，设，则，

函数在上单调递增，在上单调递减，故，

故.

故，

，

当时，，；当时，易知，

函数为偶函数，故恒成立，故.

故，得证.

（3），则，

，恒成立，

故单调递增，，，

故存在使，故函数在上单调递减，在上单调递增.

，当时，，

故函数在上有唯一零点，在上有唯一零点，故有且仅有两个零点.