Question

17．已知x＞0，y＞0，若$\frac{2y}{x}$+$\frac{8x}{y}$＞a²+2a恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a≥4或a≤-2
• B． a≥2或a≤-4
• C． -2＜a＜4
• D． -4＜a＜2

Answer 1

分析 由基本不等式可得$\frac{2y}{x}$+$\frac{8x}{y}$的最小值，由恒成立可得a的不等式，解不等式可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，
∴$\frac{2y}{x}$+$\frac{8x}{y}$≥2$\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{8x}{y}}$=8，
当且仅当$\frac{2y}{x}$=$\frac{8x}{y}$即y=2x时取等号，
∵$\frac{2y}{x}$+$\frac{8x}{y}$＞a²+2a恒成立，
∴8＞a²+2a，即a²+2a-8＜0，
解关于a的不等式可得-4＜a＜2
故选：D

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题，属中档题．