Question

2．已知圆O的方程为x²+y²=8．
（Ⅰ）若直线l：3x+4y-8=0，试判断直线l与圆O的位置关系；
（Ⅱ）点A（2，y₀）在圆O上，且y₀＞0，在圆O上任取不重合于A的两点M，N，若直线AM和AN的斜率存在且互为相反数，试问：直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆心到直线l：3x+4y-8=0的距离与半径比较，即可判断直线l与圆O的位置关系；
（Ⅱ）求出M，N的坐标，即可求出直线MN的斜率．

解答 解：（Ⅰ）圆O的圆心为（0，0），半径为2$\sqrt{2}$，
圆心到直线l：3x+4y-8=0的距离d=$\frac{8}{5}$＜2$\sqrt{2}$，
∴直线l与圆O相交；
（Ⅱ）由点A（2，y₀）在圆O上，且y₀＞0，可得y₀=2．
设直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为y=kx+2-2k，
代入圆O，可得（1+k²）x²+4k（1-k）x+4（k²-2k-1）=0，
∵2是方程的一个根，
∴2x_M=$\frac{4（{k}^{2}-2k-1）}{{k}^{2}+1}$，∴x_M=$\frac{2（{k}^{2}-2k-1）}{{k}^{2}+1}$．
由题意，k_AN=-k，∴x_N=$\frac{2（{k}^{2}+2k-1）}{{k}^{2}+1}$，
∴k_MN=$\frac{k（{x}_{M}+{x}_{N}-4）}{{x}_{M}-{x}_{N}}$=k•$\frac{\frac{-8}{1+{k}^{2}}}{\frac{-8k}{1+{k}^{2}}}$=1，
∴直线MN的斜率是定值1．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．