Question

11．已知A，B是抛物线y²=4x上异于顶点O的两个点，直线OA与直线OB的斜率之积为定值-4，F为抛物线的焦点，△AOF，△BOF的面积分别为S₁，S₂，则S₁²+S₂²的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 6
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 通过设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-4化简得y₁y₂=-4，通过三角形面积公式及基本不等式计算即得结论．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直线OA与直线OB的斜率之积为定值-4，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-4，即$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}•\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}}$=-4，
化简得：y₁y₂=-4，
∵△AOF、△BOF的面积为S₁、S₂，
∴S₁²+S₂²=$\frac{1}{4}$（y₁²+y₂²）≥$\frac{1}{4}$•2|y₁y₂|=2（当且仅当|y₁|=|y₂|时取等号），
故选：D．

点评 本题考查抛物线的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．