Question

16．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在此抛物线上，且∠AFB=90°，弦AB的中点M在该抛物线准线上的射影为M′，则$\frac{|MM′|}{|AB|}$的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 利用抛物线的定义、梯形的中位线定理，结合基本不等式，即可求出$\frac{|MM′|}{|AB|}$的最大值．

解答 解：$|MM'|=\frac{1}{2}（|AF|+|BF|）≤\sqrt{\frac{{|AF{|^2}+|BF{|^2}}}{2}}=\sqrt{\frac{{|AB{|^2}}}{2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}|AB|$，
∴$\frac{|MM'|}{|AB|}≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∴$\frac{|MM′|}{|AB|}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：D．

点评 本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．