Question

1．已知{a_n}为等差数列，S_n为{a_n}的前n项和，且a₁+a₃=8，S₅=30．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若a₁，a_k，S_k+2成等比数列，求正整数k的值．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的性质和求和公式可得a₂和a₃，进而可得公差d，可得通项公式；
（2）由等差数列的求和公式和a₁，a_k，S_k+2成等比数列可得k的方程，解方程可得．

解答 解：（1）∵{a_n}为等差数列，
∴a₁+a₃=2a₂=8，S₅=5a₃=30，
∴a₂=4，a₃=6，
∴公差d=a₃-a₂=2，
∴a_n=a₂+（n-2）d=2n
（2）由 （1）${S_n}=\frac{{n（{2+2n}）}}{2}={n^2}+n$，
∴${S_{k+2}}={（{k+2}）^2}+k+2={k^2}+5k+6$，
若a₁，a_k，S_k+2成等比数列，则${a_k}^2={a_1}{S_{k+2}}$，
即4k²=2（k²+5k+6），化简可得k²-5k-6=0，
解得k=6或k=-1，
∵k∈N^*，∴k=6

点评 本题考查等差数列和等比数列，涉及一元二次方程的求解，属中档题．