Question

14．已知实数x，y，a满足x+y=a．
（1）若$\frac{x}{{3}^{3}-{5}^{3}}$+$\frac{y}{{3}^{3}-{6}^{3}}$=1，$\frac{x}{{4}^{3}-{5}^{3}}$+$\frac{y}{{4}^{3}-{6}^{3}}$=1，求a的值；
（2）若x³+y³=x⁵+y⁵=a，求a的所有可能值．

Answer 1

分析 （1）由实数x、y满足$\frac{x}{{3}^{3}-{5}^{3}}$+$\frac{y}{{3}^{3}-{6}^{3}}$=1，$\frac{x}{{4}^{3}-{5}^{3}}$+$\frac{y}{{4}^{3}-{6}^{3}}$=1，
易知：3³，4³是关于t的方程$\frac{x}{t-{5}^{3}}$+$\frac{y}{t-{6}^{3}}$=1的两根，即是方程t²-（5³+6³+x+y）t+（5³6³+5³y+6³x）=0的两个根，根据根与系数的关系即可得出答案．
（2）把x³+y³=x+y左边展开两数和的立方公式，然后分①x+y=0，②x²-xy+y²-1=0进行求解a的所有可能值．

解答 解：（1）由实数x、y满足$\frac{x}{{3}^{3}-{5}^{3}}$+$\frac{y}{{3}^{3}-{6}^{3}}$=1，$\frac{x}{{4}^{3}-{5}^{3}}$+$\frac{y}{{4}^{3}-{6}^{3}}$=1，
可知3³，5³是关于t的方程$\frac{x}{t-{5}^{3}}$+$\frac{y}{t-{6}^{3}}$=1的两根，
即是方程t²-（5³+6³+x+y）t+（5³6³+5³y+6³x）=0的两个根，
根据根与系数的关系：3³+4³=5³+6³+x+y，
∴x+y=3³+4³-5³-6³=-250，即a=-250；
（2）∵x³+y³=x+y，
∴（x+y）（x²-xy+y²）=x+y，
∴（x+y）（x²-xy+y²-1）=0．
①若x+y=0，此时a=0；
②若x²-xy+y²-1=0，则x²+y²=xy+1≥2xy（当x=y时取等号），
∴xy≤1，
1）若x=y，则x=y=1或-1，∴a=2或-2；
2）若x≠y，设x＜y，则x=0，y=1，或x=-1，y=0均成立．
∴a=1或-1．
综上，a=-2，2，-1，0，1．

点评 本题考查了根与系数的关系及二元一次方程组，难度适中，关键是掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q；（2）的求解考查立方和公式的应用及分类讨论的首项思想方法，关键是正确分类．