Question

8．已知椭圆C的焦点是F₁（-2$\sqrt{2}$，0}），F₂（2$\sqrt{2}$，0），其上的动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4$\sqrt{3}$．点O为坐标原点，椭圆C的下顶点为R．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过点（0，1）且斜率为k的直线l₂交椭圆C于M，N两点，试证明：无论k取何值，$\overrightarrow{RM}$•$\overrightarrow{RN}$恒为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意设出椭圆方程，由已知求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）写出直线l₂的方程，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系得到M，N两点横坐标的和与积，由向量数量积的坐标表示求得$\overrightarrow{RM}$•$\overrightarrow{RN}$恒为定值．

解答 （Ⅰ）解：设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）．
∵$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=4\sqrt{3}$，∴$2a=4\sqrt{3}$，a=$2\sqrt{3}$．
又$c=2\sqrt{2}$，∴a²=12，b²=a²-c²=4，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）证明：设l₂：y=kx+1，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}+3{y^2}-12=0\end{array}\right.$，
消去y得（1+3k²）x²+6kx-9=0，
又∵点（0，1）在椭圆C内，∴△＞0恒成立．
设M （x₁，kx₁+1），N（x₂，x₂+1），
则${x_1}+{x_2}=\frac{-6k}{{1+3{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{-9}{{1+3{k^2}}}$，
易知R（0，-2），$\overrightarrow{RM}$=（x₁，kx₁+3），$\overrightarrow{RN}$=（x₂，kx₂+3），
∴$\overrightarrow{RM}$•$\overrightarrow{RN}$=x₁x₂+（kx₁+3）（kx₂+3）=（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9
=（1+k²）•$\frac{-9}{{1+3{k^2}}}$+3k•$\frac{-6k}{{1+3{k^2}}}$+9=0，与k无关．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查平面向量数量积的坐标表示，是中档题．