Question

7．化简求值：
（1）tan70°cos10°（$\sqrt{3}$tan20°-1）
（2）已知cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{3}{5}$，$\frac{17π}{12}$＜x＜$\frac{7π}{4}$，求$\frac{sin2x+2si{n}^{2}x}{1-tanx}$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简要求的式子，可得结果．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得 tan（x+$\frac{π}{4}$）的值，再化简要求的式子为-[2${cos}^{2}（x+\frac{π}{4}）$-1]•tan（x+$\frac{π}{4}$），从而得到结果．

解答 解：（1）tan70°cos10°（$\sqrt{3}$tan20°-1）=$\frac{sin70°}{cos70°}$•cos10°•$\frac{\sqrt{3}sin20°-cos20°}{cos20°}$=$\frac{cos20°}{sin20°}$•cos10°•$\frac{2sin（20°-30°）}{cos20°}$
=cos10°$\frac{-2sin10°}{sin20°}$=-1．
（2）∵cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{3}{5}$，$\frac{17π}{12}$＜x＜$\frac{7π}{4}$，∴x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{5π}{3}$，2π），∴sin（x+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（x+\frac{π}{4}）}$=-$\frac{4}{5}$，∴tan（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{3}$．
∴$\frac{sin2x+2si{n}^{2}x}{1-tanx}$=$\frac{2sinxcosx（cosx+sinx）}{cosx-sinx}$=sin2x•$\frac{1+tanx}{1-tanx}$=-cos（2x+$\frac{π}{2}$）=-[2${cos}^{2}（x+\frac{π}{4}）$-1]•tan（x+$\frac{π}{4}$）
=-[2×$\frac{9}{25}$-1]•（-$\frac{4}{3}$）=-$\frac{28}{75}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换及化简求值，属于中档题．