Question

8．如图，棱长为1的正四面体在平面α上方，且棱AB?平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成图形面积的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]
• B． [$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]
• C． [$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1}{2}$]
• D． [$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 根据题意，当线段AB相对的侧棱CD∥α时投影面面积最大，当正四面体的侧面ABC⊥α时，投影面面积最小，求出最大、最小值即可．

解答 解：由题意知，当线段AB相对的侧棱与投影面平行时投影面积最大，
此时投影是对角线为1的正方形，如图所示；
所以投影面积为$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；
当正四面体的侧面ABC⊥α时，投影面面积最小，
此时投影面是一个三角形，其底面边长为线段AB，长度为1，
三角形的高是点D到平面ABC的距离，为$\sqrt{{1}^{2}{-（\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2}{3}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
如图所示；
所以，该投影三角形的面积是$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
综上，该四面体投影面的面积取值范围是[$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{1}{2}$]．
故选：D．

点评 本题考查了三视图的应用问题，考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是易错题目．