Question

(本题15分)如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交 AC 于点 M，EA⊥平面ABC，FC//EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1．
（I）证明：EM⊥BF；
（II）求平面 BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

（1）见解析；（2）．

解析试题分析：（1）本小题易建立空间直角坐标系，易于用向量法求解，建系后可求出点E，M，B，F的坐标，然后利用证明即可.
（2）由于EA垂直平面ABC，所以可做为平面ABC的法向量，然后再求出平面BEF的法向量
设二面角为求解即可.
（1）．
如图，以为坐标原点，垂直于、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系．由已知条件得，

．
由，
得， ．   ……………6分
（2）由（1）知．
设平面的法向量为，
由得，]
令得，，
由已知平面，所以取面的法向量为，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．.
考点：利用空间向量法证明异面直线垂直，求二面角.
点评：利用空间向量法证明两直线垂直，就是证明两直线的方向向量的数量积为零即可.
在利用向量法求二面角时，要先求（或找）出两个面的法向量，然后求法向量的夹角即可.
还要注意法向量的夹角可能与二面角相等也可能互补，要注意从图形上观察.