Question

在△ABC中，三个内角A，B，C所对应边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos²A=

2

a．
（Ⅰ）求

b

a

的值；
（Ⅱ）若A，B，C成等差数列，求cosC的大小．

Answer 1

考点：正弦定理,等差数列的性质

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得到sinB=

2

sinA，所求式子再利用正弦定理化简即可求出值；
（Ⅱ）由A，B，C成等差数列，利用等差数列的性质及内角和定理求出B的度数，代入sinB=

2

sinA中求出sinA的值，确定出cosA的值，cosC变形为-cos（A+B），利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，asinAsinB+bcos²A=

2

a，
∴由正弦定理化简得：sin²AsinB+sinBcos²A=sinB=

2

sinA，
∴

b

a

=

sinB

sinA

=

2

；
（Ⅱ）∵A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，
∵A+B+C=π，
∴B=

π

3

，
∵sinB=

2

sinA，
∴sinA=

2

2

×

3

2

=

6

4

，且0＜A＜B=

π

3

，
∴cosA=

1-sin2A

=

10

4

，
则cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

10

4

×

1

2

+

6

4

×

3

2

=

3 2 - 10

8

．

点评：此题考查了正弦定理，等差数列的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．